Desvendando a “Matemágica” (Parte 1)

 

Grande parte das pessoas tem dificuldade em aprender ou aplicar a matemática na resolução de problemas. Tal fato se deve, muitas vezes, à forma como a matemática é apresentada aqui no Brasil: a “Matemágica”.

Basta decorar uma porção de fórmulazinhas, regrinhas, teoremazinhos, e outros diminutivos, para saber matemática, pois tudo funciona perfeitamente, como num passe de mágica.

Este “truque” pode até funcionar em um primeiro momento, mas com o passar dos anos, o estudante acaba confundindo tudo o que “aprendeu”. Um exemplo é o erro cometido por muitos alunos mostrado na figura ao lado.

A verdade é que não existe mágica. Tudo o que você vê em livros, ou aprendeu na escola, tem um fundamento. Assim, resolvi criar uma série de postagens intituladas “Desvendando a “Matemágica””, onde vou apresentar alguns conceitos que existem por trás destas “mágicas” que aprendemos.



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“Passa negativo” e “Passa positivo”

São as primeiras “mágicas” que nós aprendemos: para mudar um número, variável, ou expressão de “lado”, desde que não esteja multiplicando nem dividindo outro termo, basta alterar o seu sinal. Por exemplo:

           ==>          


          ==>       

Mas como isso é possível?


Para entendermos como funciona, veja a seguinte igualdade:





Concorda que 10 é igual a 10? O que acontece se retirarmos ou somarmos, dos dois lados, um mesmo valor, por exemplo, 5?

Em ambos os casos, a igualdade se mantém, 5 é igual a 5 e 15 é igual a 15. Então, em qualquer igualdade, podemos retirar ou somar um número qualquer dos dois lados da equação, sem desfazer a igualdade.

Mas onde eu quero chegar com isso?


Veja o que acontece se retirarmos 5 de cada lado da igualdade abaixo:




 

Compare a primeira e a última igualdade. Não parece que o 5 passou pro outro lado, e mudou de sinal? Eis o segredo! Simplesmente retiramos dos dois lados a variável, número, ou expressão.

Para a soma, usamos o mesmo raciocínio. Vejamos o que acontece quando somamos 3 dos dois lados da equação.

 

Compare novamente. Veja que o 3 “passou pro outro lado positivo”.




“Passa dividindo” e “Passa multiplicando”


Vejamos o que acontece quando dividimos ou multiplicamos ambos os lados de uma igualdade por um número qualquer, neste caso, 2.

Em nenhum dos casos alteramos a igualdade. 3 é igual a 3, e 12 é igual a 12. Então podemos multiplicar ou dividir ambos os lados de uma equação, sem alterar a igualdade.

Assim, de forma análoga à soma e subtração, veja o que acontece quando multiplicamos uma equação por um mesmo termo em ambos os lados.

O número 2 “passou multiplicando”.


Para a divisão:






Neste caso, o número 2 “passou dividindo”.
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Esta foi a primeira parte da série “Desvendando a Matemágica”. Muito em breve irei colocar a segunda parte, com novos “truques” revelados.


Um abraço gente, fiquem com Deus, e boa páscoa a todos!

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Mini-Soroban - Muito obrigado pelo presente!

Venho por meio desta postagem agradecer ao Profº Paulo Sérgio, responsável pelo blog "Fatos Matemáticos" pelo presente que me foi enviado na última quarta-feira. Se trata de um mini-soroban artesanal, um ábaco japonês, que consiste em um instrumento poderoso para cálculos.

Um ábaco não é apenas um instrumento para facilitar os cálculos matemáticos ou uma curiosidade histórica. Além do uso matemático para realizar as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e até alguns cálculos de raízes e potências, ele apresenta inúmeras vantagens:

• Seu uso habitual fomenta a habilidade numérica, melhora a capacidade de concentração e de raciocínio lógico;

• Aprimora a memória e a agilidade mental;

• Desenvolve o processamento da informação de forma ordenada e aumenta a atenção visual.

Ainda hoje o Soroban é utilizado no Japão, em vez de uma calculadora, por diversos profissionais. Depois de dominada a técnica, seu uso é muito mais rápido do que o de uma calculadora.

Para quem não acredita, olhem só esses vídeos. É inacreditável o que essas crianças são capazes de fazer.

Toda criança japonesa estuda seu uso dos 5 aos 8 anos.

Enfim, deixo mais uma vez os meus agradecimentos ao Profº Paulo Sérgio, e, caso você tenha ficado curioso em relação ao uso do soroban, recomendo que acesse os links abaixo:

• Aprenda a utilizar o mini-soroban com este manual;
• Construa o seu próprio mini-soroban de cartolina;
• Não tem um soroban? Baixe gratuitamente o Sorocalc;
• Site muito interessante, dedicado exclusivamente ao uso do Soroban no Brasil.

Um abraço pessoal! E até mais!

Marcelo Flora

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Qual o Tamanho do Cercado?

Imagine a seguinte situação: você foi incumbido de construir um cercado retangular em um terreno, de modo que sua área seja a maior possível, onde lhe é disponibilizado 16 metros de tela para isso. De que modo você construiria este cercado?

Talvez esteja se perguntando: Que diferença isso faz? Afinal, se utilizar todos os 16 metros de tela disponíveis, já estarei formando a maior área possível, independente de suas dimensões.

Errado. A área de um retângulo varia conforme o valor de seus lados. Duvida? Veja a figura abaixo.

Os três cercados mostrados na figura acima utilizaram a mesma quantidade de tela, 16 metros. Porém, cada um deles possui um valor de área diferente. Conte o número de quadrados em cada terreno.

Cercado A: 12 m²

Cercado B: 16 m²

Cercado C: 7 m²

Mas como saberemos quais deverão ser as dimensões do cercado para obter a maior área possível de um retângulo?

É simples, o retângulo de maior área será sempre aquele que possuir os seus lados iguais, como no caso do cercado B, pois todo quadrado também é um retângulo.

Sendo assim, em casos onde não se pode utilizar o quadrado, devemos utilizar o retângulo cujos lados possuem a menor diferença de tamanho, ou seja, aquele que estiver mais próximo de um quadrado.

Um abraço pessoal!

Marcelo Flora

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O Último Teorema de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665)

Te desafio a descobrir uma coisa:

Encontre três números inteiros positivos x, y e z, que satisfaçam a equação apresentada abaixo, com n > 2.

Não conseguiu? Já imaginava.

O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça esta equação.

O teorema deve seu nome a Pierre de Fermat (1601-1665), que escreveu às margens de uma tradução de Arithmetica de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema:

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."

Muitos acreditam que Fermat estava enganado. Somente em 1994 este teorema foi demonstrado por Andrew Wiles, dispondo de ferramentas matemáticas desconhecidas na época de Fermat.

Este teorema não tem aplicação nenhuma em si, mas toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo.

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Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Último_Teorema_de_Fermat

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O Teorema de Pitágoras em uma Folha de Papel!

Pitágoras (aproximadamente 580 a. C. - 500 a. C.)

O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:

"Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos."

Estamos acostumados a aprender na escola que para entender o Teorema de Pitágoras basta decorar a seguinte "fórmula":

c² = a² + b²

Onde "c" representa o maior lado de um triãngulo retângulo (triângulo que possui um de seus ângulos internos igual a 90°), denominado hipotenusa, a e b são os outros dois lados restantes do triângulo, denominados catetos.

Porém, é muito importante que o aluno entenda melhor o conceito deste teorema. Portanto, o MF Matemática vai te ensinar uma forma de visualizá-lo simplesmente dobrando uma folha de papel. Acabei visualizando isso dobrando uma folha de papel durante uma viagem que fiz.

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Pegue uma folha de papel, e dobre-a como mostrado na figura abaixo.

Depois de dobrada a folha, tente localizar em meio as marcações na folha o seguinte triângulo (em vermelho) e os quadrados em cada um dos seus lados (em amarelo):

Perceba que o quadrado localizado no maior lado do triângulo, na hipotenusa, possui uma área igual a soma das áreas dos dois quadrados situados nos outros lados do triângulo, os catetos. Enquanto o quadrado dos catenos possuem cada um 2 pequenos triângulos amarelos, o quadrado da hipotenusa possui 4.

Agora dobre outras 3 folhas de papel, do mesmo modo. Depois de dobrado, forme um quadrado com as quatro folhas. Agora tente identificar os seguintes elementos destacados na imagem abaixo:

Perceba que novamente o quadrado localizado no maior lado do triângulo, na hipotenusa, possui uma área igual a soma das áreas dos dois quadrados situados nos outros lados do triângulo, os catetos. Enquanto o quadrado dos catenos possuem cada um 16 pequenos triângulos amarelos, o quadrado da hipotenusa possui 32.

Interessante, não é?

Veja que isso acontece com qualquer triângulo retângulo, veja outro exemplo abaixo:

Conte você mesmo os quadrados. O quadrado maior é sempre igual a soma dos outros dois quadrados.

Portanto, podemos criar as seguinte igualdades:

quadrado C = quadrado A + quadrado B

Para calcular a área de um quadrado, basta multiplicar 2 de seus lados.

Portanto, matematicamente temos:

c*c = a*a +b*b

O que resulta em:

c² = a² + b²

Que nada mais é do que o teorema de pitágoras que tanto nos fazem decorar!

Espero que tenham gostado, e fiquem ligados no blog, porque logo irei colocar mais uma aulacom exercícios resolvidos de trigonometria!

Um Abraço!

Marcelo Flora

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Construindo um Quadrante!

Os quadrantes são instrumentos antigos, usados por astrônomos e navegantes. Sua função principal era determinar a altura angular dos astros e, com esta, a latitude do lugar. Consistem basicamente de uma placa onde são inscritos os ângulos de 0 a 90°, um fio onde é amarrado um pequeno peso e uma mira.

Nesta atividade aprenderemos a construir um quadrante.

Para isso, usaremos a cópia impressa do gabarito. Este poderá ser colado em um pedaço de compensado (cerca de 10mm de espessura) que, posteriormente, poderá ser cortado seguindo a linha pontilhada. Após amarrar o peso no fio, faz-se um laço na outra extremidade para fixá-lo no prego (ver desenho). Sobre o lado (90º), fixe um pequeno tubo para servir de mira.

As medições serão mais precisas se o quadrante for preso a um tripé. No gabarito está indicado o lugar onde poderá ser feito um furo para que um parafuso de 1/4” fixe o quadrante ao tripé.

Para medir a altura angular de um objeto qualquer, aponte o quadrante e veja o alvo através do tubo, colocando-o no centro (veja figura acima). A altura angular será indicada pelo fio. As leituras do quadrante devem ser feitas com o plano do quadrante na vertical, de modo que o fio não encoste na escala, nem fique muito afastado.

• Segue abaixo um exemplo de determinação da altura de um poste utilizando um quadrante:

Para isso, meça:

a) a distância (d) em metros entre a base do poste e o local onde será feita a medição com o quadrante, utilizando uma trena.

b) a distância (L) em metros entre o quadrante e o chão.

c) a altura angular (H) do poste (com o quadrante). Se o quadrante não estiver preso a um tripé, peça a alguém para fazer a leitura da escala enquanto você aponta.

Façamos agora uma análise para determinação da altura do poste:

Sabendo que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual a razão do valor do cateto oposto pelo adjacente, temos:

tg H = x/d

Portanto, o valor de x é:

x = (tg H)*d

A altura do poste (AP) é igual ao valor x mais a altura L, portanto:

AP = x + L

E, por fim:

AP = (tg H)*d + L

Espero que tenham gostado!

Um Abraço!

Marcelo Flora

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Fonte: http://www.anos-luz.pro.br/quadrante.htm

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