Qual é o valor do prêmio?

Olá Marcelo, ajude-me nesta questão do concurso do INSS de 2005.

Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de:

a) R$ 2400,00

b) R$ 2200,00

c) R$ 2100,00

d) R$ 1800,00

e) R$ 1400,00

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Dúvida do Antônio

Marcelo bom dia!

Meu nome é Antônio e estou tentado resolver este problema, só que de todo jeito que faço só dá 6, e não tem este resultado nas possíveis respostas.

Desde já agradeço.

O dono de uma pizzaria pretende colocar um painel na frente de seu estabelecimento, de dimensões 4 m por 5 m, que deve ser pintado em 30% de sua área. Da área pintada, 12% deve ser na cor azul, que será o nome da pizzaria. Sabendo que cada tubo de tinta possibilita pintar 1200 cm², o número de tubos de tinta azul necessários é:

A) 8

B) 7

C) 5

D) 4

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Dúvida da Gislene

Bom dia!

Estou estudando para umconcurso público por causa da idade estou com dificuldades, me auxilie nestes problemas me ensinando a solução. Obrigada

1- A quantia de R$ 720,00 foi dividida entre três pessoas, de tal forma que a primeira recebeu a metade, a segunda a terça parte e a terceira o restante. Quanto recebeu a terceira pessoa?

2- Um número mais sua metade, mais a quarta parte é igual a 63. Esse número é?

Agradeço desde já.

Gislene.

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Obs.: Esta dúvida foi respondida através da parceria com o blog Fazendo Matemática. Clique na imagem para saber mais.
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Olá Gislene, segue abaixo a resolução.

1) Temos que:

A primeira pessoa recebeu metade, ou seja, ½

A segunda pessoa recebeu um terço, ou seja, 1/3

Portanto, a terceira pessoa recebeu x.

Temos:

1/2 + 1/3 + x = 1

1/2 + 1/3 -1 = -x

3/6 + 2/6 - 6/6 = -x

5/6 - 6/6 = -x

(- 1/6 = -x) (-1)

x= 1/6

1/6 de 720 = 120

2) Um número mais sua metade mais a quarta parte é igual a 63. Esse número é?

Um número = x

Mais sua metade = x/2

Mais sua quarta parte = x/4

É igual a 63. Portanto, temos:

x + x/2 + x/4 = 63

Temos uma equação de grau 1 para resolver:

(4x + 2x + x)/4 = 63

7x/4 = 63

7x = 252

x = 252/7

x = 36

Portanto, o número é 36

Abraços,

Matheus Basílio.

Fazendo Matemática – http://www.fazendomatematica.com
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Dúvida do Leandro Garcia

Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve

(A)lucro de 10,3%

(B)lucro de 7,0%

(C)prejuízo de 5,5%

(D)prejuízo de 12,4%

(E)prejuízo de 16,5%
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Olá Leandro,


Para resolvermos este exercício, seguiremos as seguintes etapas:


1) Calcular o lucro/prejuízo do investidor em cada empresa;

2) Calcular o lucro/prejuízo total do investidor.
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1) Sendo x o total aplicado pelo investidor, temos o seguinte:


Ações em A = 1/3x;

Ações em B = 1/2x;


Ações em C = 1 - 1/3x - 1/2x = 1/6x


Para sabermos o quanto o investidor lucrou em cada empresa, basta multiplicar a fração de x, pelo percentual apresentado no problema. Assim:









Pronto, podemos passar para a próxima etapa.
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2) O lucro/prejuízo total do investidor será igual à soma de todos os lucros/prejuízos calculados na etapa anterior. Portanto, temos:





Nota: O sinal de 3/20x é negativo, pois é um prejuízo (veja o enunciado do problema).

Resolvendo esta equação, temos:





Portanto, a resposta correta é a alternativa  (C) prejuízo de 5,5%.


Qualquer dúvida é só deixar um comentário.


Um abraço!


Marcelo Flora
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Dúvida do Kléber

Olá Marcelo,

Minha dúvida é a seguinte:

Qual é a metade do número 2^21 + 4^12?

Desde já agradeço.



Olá Kléber,

Para resolvermos este exercício, basta saber as propriedades da exponenciação. Nem pense em desenvolver a potência destes números, pois assim você iria perder muito tempo.

Vamos à resolução.
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Primeiramente, vamos colocar as duas potências em bases iguais para que possamos somá-las:

Agora que vem a parte mais importante: vamos colocar 2^21 em evidência, de modo a facilitar nosso cálculo.

Como nos é perguntado a metade do número, basta dividir por 2.

Pronto! A metade de 2²¹ + 4¹² é  9* 2²⁰

^{Qualquer dúvida, deixe aí seu comentário.}

Um abraço! E bom final de semana!

Marcelo Flora
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Dúvida da Neri

Oi Marcelo!

Gostaria que você fizesse o favor de esclarecer uma duvida minha... Tenho muitos exercícios deste tipo aqui e não sei resolver. 

“Uma caixa d'agua com capacidade para 850 m³ possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um ‘ladrão’ que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o ‘ladrão’ funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa d' agua ficará cheia?”.

A resposta é 16h e 48 min.

Obrigada pelo espaço!

Neri

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Olá Neri,

Para resolvermos este exercício, basta fazer regra de três. É bem mais simples do que se imagina.

Vamos à resolução.

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Iremos seguir os seguintes passos:

1) Calcular o quanto a caixa d’agua esvazia em 7 horas (Sabendo isto, podemos calcular o passo 2);

2) Calcular o quanto a caixa d’agua enche com o ladrão aberto, em 7 horas (Sabendo isto, podemos calcular o passo 3);

3) Calcular o tempo de enchimento da caixa, com o ladrão aberto, para 850 m³ (Que é a resposta).

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1) Como sabemos que a caixa esvazia 850m³ em 12 horas, para saber em 7, basta fazer a regra de três:

Esvazia ====== Tempo

850m³ ========= 12h

x m³ =========== 7h

Multiplicando em cruz, temos:

7*850 = 12x

5950 = 12x

x = 5950/12   (Simplificando por 2)

x = 2975/6

Portanto, a caixa d’agua esvazia 2975/6 m³ de água em 7 horas.

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2) O quanto a caixa d’agua enche com o ladrão aberto em 7 horas, será igual ao quanto ela enche em 7 horas, menos o quanto ela esvazia em 7 horas. Assim, temos:

Fazendo o mmc de 1 e 6, e depois “dividindo pelo debaixo, e multiplicando pelo de cima”, fica:

Portanto a caixa d’agua enche, com o ‘ladrão’ aberto,  2125/6 m³ de água em 7 horas.

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3) Agora basta fazer outra regra de três com o resultado anterior. Assim:

Enche ====== Tempo

2125/6m³ ========= 7h

850 m³ =========== x h

Multiplicando em cruz, temos:

 

Para transformar as 0,8 horas em minutos, basta multiplicar 0,8 por 60 min.

0,8*60 = 48 min.

Portanto, a resposta é 16 horas e 48 minutos.

Qualquer dúvida é só deixar um comentário.

Um abraço! E até a próxima!

Marcelo Flora
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Dúvida do Crisley

Olá!

Me chamo Crisley, e gostaria que me ajudasse nesta questão. Parece ser fácil, contudo não consigo resolvê-la. Obrigado desde já.

(UFES) Quantos fatores primos distintos tem o número N = 1999² − 1997² − 1998 ?

a) 1 b) 2  c) 3  d) 4  e) 5

Resposta: C

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Olá Crisley,

Para resolver exercícios deste tipo, devemos ter em mente que é inviável realizar a operação apresentada diretamente, pois perderíamos muito tempo. Ao invés disso, temos que encontrar um meio de simplificá-la.

Vamos à resolução.

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Analisando a equação N =  1999² − 1997² − 1998, é possível perceber que temos a diferença de dois quadrados, ou seja, 1999² − 1997².

Pelo método da diferença de quadrados, sabemos que:

Assim, podemos transformar nossa equação para a seguinte forma:

N =  (1999 + 1997)(1999 - 1997) − 1998

Desenvolvendo esta equação:

N =  (1999 + 1997)(1999 - 1997) − 1998

N =  (3996)(2) − 1998

N = 7992 – 1998

N = 5994

Agora temos que decompor 5994 em fatores primos. Para isso, basta ir dividindo o número em questão pelos números primos, e ir escrevendo os quocientes, e os números, um abaixo do outro. Assim:

 

Quantos fatores primos distintos tem o número?

Analisando a figura acima, vemos que são 2, 3 e 37.

Portanto, é correta a alternativa c) 3.

Qualquer dúvida é só deixar um comentário.

Um abraço! E até a próxima!

Marcelo Flora
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Dúvida do "Pitágoras de Samos"

Considere S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2 e, sendo a1 = 1.

A partir do , os termos são todos múltiplos de 2.

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32)

Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:

S = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32),

como S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32), temos:

S = 1 + 2S

S - 2S = 1

ou seja,

S = – 1

Onde está o erro?

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Olá "Pitágoras",

Antes de analisarmos este exercício, precisamos entender o que é o infinito em matemática, e ver algumas de suas propriedades.

Gostaria de deixar bem claro que não possuo a formação necessária para demonstrar tais conceitos. Assim, dou-me ao direito de não ser muito rigoroso nesta resolução.

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Existe um paradoxo muito interessante proposto pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) sobre conjuntos infinitos. É chamado “O paradoxo do Hotel de Hilbert”.

Veja:

“Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contém um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.”

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Este paradoxo nos mostra que não devemos pensar no infinito como um número real.

Ocasionalmente, considera-se ao infinito como sendo um número especial, adicionando os símbolos e ao conjunto dos números reais , formando assim o conjunto de números reais estendidos: .

Com isto, pode-se manipular o infinito como se fosse um número, porém sujeito a certas regras:

Relação de ordem: para qualquer número real x.





Operações aritméticas entre infinitos:

 

É interessante notar que muitas das operações possíveis com o infinito estão sem definir (quer dizer, não têm um valor atribuído). São elas:
 Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_Grand_Hotel_de_Hilbert



Agora que já sabemos algumas informações sobre o infinito na matemática, vamos abordar o nosso problema.
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Podemos facilmente ver que a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2, com , é igual a infinito. Portanto, temos:

=

Desta forma, temos que tratar de um modo especial, como visto anteriormente.

Após o número 2 ser colocado em evidência,







substitui-se no lugar da soma da PG, S.



= 1 + 2



Para ficar evidente o erro, vamos substituir por .



= 1 + 2

Para passar 2 para o outro lado da equação, teríamos que subtrair  2 de ambos os lados, o que gera uma indefinição (Veja a propriedade IV apresentada anteriormente).

Assim, fica impossível prosseguir com o cálculo, tornando incorreta a resolução apresentada.

Bom, é isso. Caso alguém tenha algum comentário ou sugestão sobre este problema, ficarei muito interessado em discutí-lo.



Um abraço! E bom feriado!



Marcelo Flora
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