Desafio N#13

E o desafio desta semana foi o seguinte:

“Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?”

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Eis a solução do desafio:

Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos:

N*P = 1000   =>   P=1000/N

Tira-se 4 garrafas e aumenta-se o preço da dúzia em R$100,00, logo:

(N-4)*P+((N-4)/12)*100) = 1000

Colocando (N-4) em evidência:

(N-4) (P + 100/12) = 1000

(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000

(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 

Resolvendo esta última equação, chegamos a equação de segundo grau:

100N² - 400N - 48000 = 0 

Aplicando Bhaskara encontramos x = 24.

Portanto, haviam 24 garrafas na caixa.

É isso aí galera, obrigado a todos que tentaram resolver o desafio!
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Como vocês devem ter percebido, a constância das postagens no blog não vem sendo das melhores. Existe um motivo. O vestibular vem chegando e, como qualquer aluno, preciso estudar também. E põe estudar nisso!

Assim, estou com pouco tempo pra preparar as postagens. Terminada esta fase, as atividades no blog voltarão ao normal.

Quanto aos emails, continuarei lendo, respondendo, mas vou ficar em dívida com as resoluções. Espero que entendam.

Um abraço pessoal! E até a próxima!

Marcelo Flora

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Desafio N#12

E o desafio desta semana foi o seguinte:

“Um velho professor de matemática e um de seus alunos prediletos se encontram depois de 20 anos. Diante de uma pergunta simples, o pupilo resolve desafiar o mestre. Acompanhe o papo e veja se você também consegue descobrir as idades das filhas do aluno aplicado.

Professor: Eduardo, como vai?

Eduardo: Vou bem. Casei e tenho três filhas.

Professor: Que ótimo! Que idades elas têm?

Eduardo: Suas idades, multiplicadas, dão 72. Somadas, o resultado é igual ao número daquele prédio de apartamentos ali adiante.

Professor: Humm... ainda não consegui descobrir.

Eduardo: Ah, me desculpe. A mais velha acaba de aprender a tocar piano.

Professor: Puxa, é a mesma idade do meu filho!”

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E quem resolveu o desafio desta semana foi a nossa parceira Professora Ju! Parabéns!

Vamos à resolução.

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Olá Marcelo, 

Eis a solução do desafio desta semana.

Se Eduardo teve três filhas em vinte anos a idade da mais velha é <= 20 anos.

Se, suas idades multiplicadas dão 72, devemos decompor o número 72 em 3 fatores para encontrar as possíveis combinações:

1, 4 e 18 - soma 23 (1+4+18);

1, 6 e 12 - soma 19;

1, 8 e 9 - soma 18;

2, 2 e 18 - soma 22;

2, 3 e 12 - soma 17;

2, 4 e 9 - soma  15;

2, 6 e 6 - soma 14;

3, 3 e 8 - soma 14;

3, 4 e 6 - soma 13. 

Agora está a charada:

"Eduardo: ... Somadas, o resultado é igual ao número daquele prédio de apartamentos ali adiante.

Professor: Humm... ainda não consegui descobrir." 

Se o professor não sabe com certeza quais são as idades, é porque tem mais de uma possibilidade de resposta. E, das possíveis combinações acima, duas causam dúvida:

2, 6 e 6 - soma 14;

3, 3 e 8 - soma 14;

Para finalizar, quando o Eduardo diz que a filha mais velha acaba de aprender a tocar piano, deixa claro que existe somente uma filha mais velha. Apenas na situação das filhas terem idades 3, 3 e 8 anos é que há uma mais velha. Na outra opção há duas filhas mais velhas com 6 anos.

Portanto, a idade das filhas são, 3, 3 e 8 anos.

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É isso mesmo!

Gostaria de agradecer a Professora Ju, e a todos que tentaram resolver o desafio, pela participação.

E semana que vem tem mais!

Um abraço gente!

Marcelo Flora

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Desafio N#11

E o desafio desta semana foi o seguinte: 

Em um corredor há 100 portas, todas numeradas e fechadas. Sua missão é atravessar o corredor 100 vezes movendo as portas. Mover significa mudar sua situação: se estiver fechada, abra-a; se estiver aberta, feche-a. Mas, há algumas regras:

1) Cada travessia sempre começa pela porta número 1;

2) Na travessia 1 mova todas as portas. Na travessia 2 pule uma porta e mova a segunda; e assim por diante (ou seja, mova as portas, 2, 4, 6, 8, ...). Na travessia 3 pule duas e mova a terceira (ou seja, mova as portas 3, 6, 9, ...). Siga assim até a travessia 100, quando você só moverá a porta número 100.

 

Depois da última travessia, que portas estarão abertas?

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E quem resolveu o desafio desta semana foi o Arthur F. Santos! Parabéns!

Ele não quis enviar a foto pra gente, mas merece o destaque! rsrsrs.

Vamos à resolução.

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Permanecerão abertas as portas que contêm números cuja quantidade de divisores é ímpar, ou seja, os quadrados perfeitos.

Assim ficam abertas as portas 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Confira na tabela abaixo:

Número            Divisores            Quantidade de Divisores
1                   1                                                1
4                   1, 2, 4                                        3
9                   1, 3, 9                                        3
16                  1, 2, 4, 8, 16                              5
25                  1, 5, 25                                      3
36                  1, 2, 3, 4, 6, 9, 36                      7
49                  1, 7, 49                                      3
64                  1,2,4,8,16,32,64                        7
81                  1, 9, 81                                      3
100                 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100              7

Observação: os divisores de um número n vêm aos pares. A exceção são os números quadrados perfeitos cujo número de divisores é ímpar.

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É isso aí pessoal, semana que vem tem mais!

Um abraço, e um bom final de semana a todos!

Marcelo Flora

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Desafio N#10

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Antes de apresentar a solução do desafio desta semana, gostaria de agradecer a todos que tentaram resolvê-lo. Muito obrigado gente!

Este desafio é de minha criação, por isso ainda preciso aperfeiçoá-lo. Assim que o fizer, postarei a segunda versão.

E para quem ainda não viu, o desafio foi o seguinte:

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“Um diplomata, ao chegar na entrada da casa real de um país aliado, se deparou com cinco soldados em frente a três portas.

Ao pedir permissão para entrar, um deles disse:

- Para entrar na casa real, o Sr. terá que descobrir qual destas três portas leva ao Presidente. – O soldado fez uma pausa. O outro continuou:

- Cada soldado, ou sempre fala a verdade, ou sempre fala mentiras. Porém, existe um de nós que é louco, e  ele dirá algo absurdo. Suas afirmações não devem ser consideradas. Iremos lhe dar as pistas necessárias para vencer o desafio. – dito isto, começaram um a um a falar:

- Meu nome é Edgar, e afirmo que a porta correta é a da direita. Pode acreditar no Carlos, que ele fala a verdade.

- Meu nome é Raul, e a porta certa é a do centro. Não acredite no Augusto, ele é mentiroso.

- Sou o Carlos, e digo que escolha a porta da direita. Sobre Edgar, digo que, às vezes, ele mente.

- Meu nome é Artur. Escolha a porta do centro. Mas saiba que eu sou mentiroso.

- Por fim, eu digo. Escolha a porta da esquerda. Meu nome é Augusto, e sou louco."

Descubra qual é a porta que o diplomata deve escolher.
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E hoje tivemos três vencedores! São eles:

   

Parabéns a todos! Muito obrigado pela participação!

E vamos à tão esperada resolução.

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Primeiro, temos que ficar atentos às condições propostas no problema:

1) Eles só dizem verdades ou mentiras;
2) Um deles é louco, e sua afirmação não deve ser considerada. Ele irá dizer um absurdo.

Feito isso, comecemos a análise.

===> Para Edgar:

“… afirmo que a porta correta é a da direita. Pode acreditar no Carlos, que ele fala a verdade.”

Então, segundo ele:

* Porta certa: Direita;

* Carlos fala a verdade.

===> Para Raul:

“… a porta certa é a do centro. Não acredite no Augusto, ele é mentiroso.”

Então, segundo ele:

* Porta certa: Centro;

* Augusto é mentiroso .

===> Para Carlos:

“… digo que escolha a porta da direita. Sobre Edgar, digo que, às vezes, ele mente.”

Como é possível alguém mentir “às vezes”?! Foi afirmado anteriormente que eles só podem falar a verdade ou a mentira. Portanto, concluímos que Carlos é mentiroso.

Muitos colocaram Carlos como o louco, mas está errado, pois um mentiroso pode muito bem dizer que um de seus companheiros mente “às vezes”, e não há absurdo nisso.

Então, segundo ele:

* Porta certa: Direita;

Mas como sabemos que ele é mentiroso, esta porta é incorreta.

Como Edgar afirmou que Carlos fala a verdade, concluímos que ele também é mentiroso. Portanto, porta da direita está descartada.

===> Para Artur:

“Escolha a porta do centro. Mas saiba que eu sou mentiroso.”

Esta é a fala chave do problema. Pense comigo, como alguém pode dizer que é mentiroso? Se ele realmente for mentiroso, ele estará sendo verdadeiro! E se ele fala somente a verdade, ele está mentindo, pois afirma que é mentiroso!

Portanto, isto é um absurdo. O que mostra que Artur é o louco! Devido a isso, não vamos avaliar nada do que ele disse.

===> Por fim, Augusto

“… Escolha a porta da esquerda …e sou louco."

Nós já encontramos o louco, logo Augusto é mentiroso, como Raul havia afirmado.

Portanto, Raul diz a verdade, e a porta certa é a que ele afirmou ser a correta: a do centro!

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Bom, é isso pessoal. Qualquer dúvida é só deixar aí seu comentário.

Um abraço, e um ótimo final de semana a todos!

Marcelo Flora

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Desafio N#9

E o desafio desta seamana foi o seguinte: 

“Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente.

Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?”

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Bom pessoal, como nos últimos desafios venho recebendo várias soluções, vou, a partir desta data, fazer um “mural” com a foto e o nome dos visitantes que resolveram. Foram eles:

     

E os nossos vencedores de hoje possuem blogs muito interessantes também. Conheçam clicando nos retratos.

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Eis a solução do desafio desta semana:

· Enchemos a vasilha de 3 litros;

· Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros;

· Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros;

· Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1 na de 3;

· Esvaziamos a de 5 no barril;

· Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5;

· Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá 1+3 = 4;

· No barril sobra 4 litros para o outro amigo.

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E é isso aí pessoal. E como diria nosso amigo Matheus, difícil seria dois bêbados terem pensado nisso! rsrs.

E até o próximo desafio.

Um abraço!

Marcelo Flora

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Desafio N#8

E o desafio desta semana foi o seguinte:

Observe a sequência abaixo e responda:


2+3 = 10

4+8 = 48

5+5 = 50

7+2 = 63

8+1 = 72

9+7 = ?

Antes de apresentar a solução do desafio, gostaria de agradecer àqueles que me enviaram suas soluções.

Muito obrigado pela participação de todos!

E a melhor resolução recebida foi da Jaqueline Danielle Bueno! Parabéns!

 

Segue abaixo a sua resolução.
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Boa Noite, segue abaixo a solução do Desafio N#8.

2+3 = 10   
4+8 = 48   
5+5 = 50  
7+2 = 63  
8+1 = 72  
9+7 = ?

Achei a solução somando os números, e multiplicando pelo 1º ( Em vermelho ).

Exemplo :

2+3 = 5     5.2= 10
4+8 =12    12.4= 48
...
Portanto, 9 + 7 será igual a:

9+7= 16    16.9= 144

Resposta: 144.
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É isso mesmo Jaqueline. Obrigado por colaborar com o blog!

E não percam o desafio N#9 segunda-feira!

Um ótimo final de semana a todos!

Marcelo Flora

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Desafio N#7

O desafio desta semana foi o seguinte:
 

“Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que    seja um número inteiro?”

                             

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Segue abaixo a resolução do nosso amigo Hever.

Resolução:

Sendo x+99/x+19 = 1+ 80/x+19, logo, para que  x+99/x+19 seja um número inteiro, 80/x+19 deve ser um inteiro. Para que isso aconteça, o denominador da fração (x+19) deve assumir valores divisores de 80. Como os divisores são:

D(80)= {-+1,-+2,-+4,-+5,-+8,-+10,-+16,-+20,-+40,-+80}

Concluímos que x pode assumir 20 valores inteiros.

Hever.
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É isso mesmo Hever, e obrigado por participar!

Um abraço pessoal! E até o próximo desafio!

Marcelo Flora

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Desafio N#6

O desafio desta semana foi o seguinte:

Determine o menor número natural cuja:

• a) Divisão por 2 tem resto 1;
• b) Divisão por 3 tem resto 2;
• c) Divisão por 4 tem resto 3;
• d) Divisão por 5 tem resto 4;
• d) Divisão por 6 tem resto 5;
• e) Divisão por 7 tem resto 0;

E quem resolveu o desafio desta semana foi a Profª Ju, do blog http://professoraju-mat.blogspot.com/

Vamos à sua resolução.

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Olá Marcelo,

Eis a solução do desafio desta semana:

Vamos começar debaixo para cima, a partir da informação da letra e)

Como ela fala "divisão por 7 tem resto 0", sabemos então, que o número procurado é um multiplo de 7, ou seja, pode ser:

7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,… 133,140...

Depois, analisamos as demais letras:

Dividido por 2 tem resto 1...

7,21,35,49,63,77,91,105,119,133...

Dividido por 3 tem resto 2...

35,77,119...

Dividio por 4 tem resto 3...

35,119...

Dividido por 5 tem resto 4...

119...

Dividido por 6 tem resto 5...

119.

Logo, o número procurado é o 119.

Abraços

Juliana

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Muito obrigado por participar Juliana!

E não se esqueçam, semana que vêm tem mais!

Um abraço!

Marcelo Flora

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Desafio N#5

O desafio desta semana foi o seguinte: 
 

“O casal Aguiar tem vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos. Quantos filhos e filhas existem na família?”

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Para resolver este desafio, vamos chamar cada filha de "M" e cada filho de "H".

Para facilitar a nossa compreensão do problema, vamos esboçar alguns desenhos. Primeiro, analisemos a afirmação: “Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs”. Assim, vamos adotar dois casos:

Perceba que o número de mulheres é sempre igual ao número de homens mais 1. Desta forma, sendo M o número de mulheres, e H o número de homens, temos:

Da mesma forma, para a afirmação: “Cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos”, temos:

Perceba que o número de mulheres é sempre igual a duas vezes o número de homens menos 1. Assim:

Agora é só resolver o sistema. Substituindo I em II:

Substituindo H em I:

 

Portanto, o casal tem 3 filhos e 4 filhas.

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Um abraço! E bom final de semana a todos!

Marcelo Flora

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Desafio N#4

O desafio desta semana foi o seguinte: 

“Minha mãe me contou que, em 1938, conversava com sua avó e observaram que a idade de cada uma era expressa pelo número formado pelos dois últimos algarismos dos anos em que haviam nascido. Assim, quando minha mãe nasceu, qual era a idade da minha bisavó?”

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Considerando que a neta nasceu no século XX, e que a avó nasceu no século XIX, podemos escrever as seguintes equações:

Onde XY e WZ representam os algarismos que queremos encontrar, que são as idades atuais da avó e da neta. Sendo assim, podemos reescrever estas equações:

Agora, vamos decompor os números segundo suas grandezas (unidade e dezena):






Substituindo os valores decompostos nas equações 1 e 2, temos:

Não é necessário resolver as equações 3 e 4 para encontrar a resposta. Basta ser um pouco observador. Como 10X + Y é igual a XY, temos que XY vale 69. Analogamente, WZ é igual a 19. Então, as idades da avó e da neta são em 1938, respectivamente 69 e 19 anos.

Mas qual é a idade da avó, quando a neta nasceu? Simples, basta fazer a diferença entre as idades:

69 – 19 = 50

Portanto, a idade da avó quando a neta nasceu é de 50 anos.

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E é isso aí galera, e não percam o desafio da próxima semana!


Um abraço! E bom final de semana a todos!

Marcelo Flora

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