Dúvida do "Pitágoras de Samos"

Considere S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2 e, sendo a1 = 1.

A partir do , os termos são todos múltiplos de 2.

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32)

Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:

S = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32),

como S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32), temos:

S = 1 + 2S

S - 2S = 1

ou seja,

S = – 1

Onde está o erro?

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Olá "Pitágoras",

Antes de analisarmos este exercício, precisamos entender o que é o infinito em matemática, e ver algumas de suas propriedades.

Gostaria de deixar bem claro que não possuo a formação necessária para demonstrar tais conceitos. Assim, dou-me ao direito de não ser muito rigoroso nesta resolução.

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Existe um paradoxo muito interessante proposto pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) sobre conjuntos infinitos. É chamado “O paradoxo do Hotel de Hilbert”.

Veja:

“Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contém um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.”

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Este paradoxo nos mostra que não devemos pensar no infinito como um número real.

Ocasionalmente, considera-se ao infinito como sendo um número especial, adicionando os símbolos e ao conjunto dos números reais , formando assim o conjunto de números reais estendidos: .

Com isto, pode-se manipular o infinito como se fosse um número, porém sujeito a certas regras:

Relação de ordem: para qualquer número real x.





Operações aritméticas entre infinitos:

 

É interessante notar que muitas das operações possíveis com o infinito estão sem definir (quer dizer, não têm um valor atribuído). São elas:
 Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_Grand_Hotel_de_Hilbert



Agora que já sabemos algumas informações sobre o infinito na matemática, vamos abordar o nosso problema.
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Podemos facilmente ver que a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2, com , é igual a infinito. Portanto, temos:

=

Desta forma, temos que tratar de um modo especial, como visto anteriormente.

Após o número 2 ser colocado em evidência,







substitui-se no lugar da soma da PG, S.



= 1 + 2



Para ficar evidente o erro, vamos substituir por .



= 1 + 2

Para passar 2 para o outro lado da equação, teríamos que subtrair  2 de ambos os lados, o que gera uma indefinição (Veja a propriedade IV apresentada anteriormente).

Assim, fica impossível prosseguir com o cálculo, tornando incorreta a resolução apresentada.

Bom, é isso. Caso alguém tenha algum comentário ou sugestão sobre este problema, ficarei muito interessado em discutí-lo.



Um abraço! E bom feriado!



Marcelo Flora
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Dúvida da Maria Aparecida

Olá Marcelo, segue a dúvida:

Marta realiza uma tarefa em x horas, enquanto Sueli gasta 3 horas a mais para realizar a mesma tarefa. Admitindo-se que os ritmos de trabalho de Marta e Sueli sejam constantes, trabalhando juntas, as duas, realizam em uma hora, a seguinte fração da tarefa:

a)3x +2 / x² + 2x
b) 2x +3 / x² + 2x
c)3x +2 / x² + 3x
d)2x + 3/ x² +3x

Obrigada pela sua atenção!!!
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Olá Maria,

Quando você me mandou este exercício, no enunciado estava “Sueli gasta 3 horas e meia”. Acabei descobrindo que o correto para o exercício é “Sueli gasta 3 horas a mais”. Sendo assim, irei resolvê-lo da forma correta.

Vamos à resolução.
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Primeiramente, vamos esquematizar nosso raciocínio de acordo com o que nos é fornecido no problema. Sendo x = tempo gasto por Marta para realizar uma tarefa, temos:

“Marta realiza uma tarefa em x horas, enquanto Sueli gasta 3 horas a mais para realizar…”

Logo, podemos dizer que Marta faz 1 tarefa por x horas, ou seja, o total de tarefas que Marta realiza será igual a 1 tarefa / x horas, vezes o número de horas gastas realizando as tarefas.

Assim:

Sendo:

n = número de tarefas realizadas;

t = horas gastas;

Teremos, para Marta:

Analogamente, podemos criar uma equação para Sueli, tendo como única diferença a quantidade de horas por tarefa (x+3):

Somando (1) e (2), teremos uma equação para quando as duas pessoas realizam as tarefas juntas. Assim:

O exercício nos pede para calcular a fração de tarefa, ou seja, a quantidade de tarefas realizadas por Marta e Sueli, em 1 hora. Então, substituindo 1 no lugar de t:

Pronto, agora só falta somar as duas frações. Para isso, fazemos o mmc dos denominadores(neste caso, como temos incógnitas, multiplicamos os denominadores), e depois realizamos aquele velho procedimento “divide pelo de baixo, e multiplica pelo de cima”. Vamos lá:

Somando os valores do numerador, e fazendo a “distributiva” no denominador, chegamos ao resultado.



Portanto, é correta a alternativa D) 2x + 3/x² + 3x

Um abraço! Até mais!

Marcelo Flora
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Dúvida do Gian

Boa Noite

Diferente das questões vistas em seu Blog tenho uma que não de deram opções de alternativas espero que você me ajude:

-Um trem parte do ponto A a uma velocidade de 2 km\h

Outro trem sai do Ponto B a uma velocidade de 4 km\h

no ponto de encontro deles tem uma vaca

Calcule:

\______________________________/

Calcule o Susto que a pobre vaquinha levou!

só pra dar os parabéns pelo blog e descontrair um pouco..rsss

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AUEhAUEhUAHEUeuA, olha, acho que o susto deve ter sido grande viu! rsrsrsrsrsrs

Muito obrigado pelos parabéns e pela visita!

Um abraço!

Marcelo Flora

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Dúvida do Jackson (2)

Olá Marcelo, poderia resolver esta questão?

PS: muito obrigado por ter me ajudado na outra.

Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos, da segunda, uma gota de 6 em 6 minutos, e da terceira uma gota de 10 em 10 minutos. Exatamente às 2h cai uma gota de cada torneira.

A próxima vez que pingarão juntas novamente será ás?

a)2:30min b)3h c)3h30min d)4h e)5h

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Olá Jackson,

Para resolver este exercício, basta calcular o mmc de 4, 6 e 10. Com isso, iremos saber em qual minuto exatamente as três torneiras pingaram juntas.

O mmc de 4,6 e 10 é 60, o que significa que elas pingam juntas a cada 60 min.

Portanto, se às 2h cai uma gota de cada torneira, a próxima vez que cairão juntas será em 2h + 60 min, que é igual a 3h.

Portanto, é correta a alternativa b), 3h.

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Dúvida do Vitor

Se a média aritmética entre dois números é 15, e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é?

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Olá Vitor,

Para resolver este problema, basta montar o sistema com as igualdades, e resolvê-lo.

Assim:

Igualdade 1:

• A média aritmética entre dois números é 15;

Matematicamente:

(x + y)/2 = 15

x + y = 30

Igualdade 2:

• Sua média geométrica é 12.

raiz(x*y) = 12

x*y = 144

Obs.: Leia mais sobre média aritmética e geométrica aqui.

Assim:

x + y = 30 (1)

x*y = 144 (2)

Substituindo 1 em 2:

x*(30 - x) = 144

30x - x² = 144

x² - 30 + 144 = 0

A resposta seria portanto x² - 30 +144 = 0

Um abraço! Até mais!

Marcelo Flora

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