Dúvida da Natália (2)

Olá Marcelo, segue a dúvida:

Numa campanha de prevenção contra a dengue x pessoas dividiram igualmente entre si a tarefa de visitar 1000 casas de uma região da cidade. No dia previsto faltaram 5 pessoas e cada uma das outras pessoas teve de visitar 10 casas a mais. Qual é o número x de pessoas?

Obrigada.

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Olá Natália,

Achei este exercício bem interessante, pois além de exigir do estudante a capacidade de interpretação do problema, envolve conceitos de sistemas lineares e equações do 2º grau. 

Vou resolvê-lo passo a passo, para que ninguém fique com dúvidas.

Vamos à resolução.

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Primeiramente, vamos esquematizar nosso raciocínio de acordo com o que nos é fornecido no problema. Sendo x número de pessoas, e chamando de n o número de casas que cada pessoa visitou, temos:

• “... x pessoas dividiram igualmente entre si a tarefa de visitar 1000 casas de uma região da cidade..." 

Ou seja, o número x de pessoas, vezes o número de casas que cada um visitou, será igual a 1000. Logo:

• “… faltaram 5 pessoas e cada uma das outras pessoas teve de visitar 10 casas a mais…”

Ou seja, o números x de pessoas menos 5, vezes o número de casas que cada um visitou mais 10, deve ser também igual a 1000. Assim:

Vamos agora desenvolver esta última equação.

Aplicando a propriedade distributiva:

Colocando n em evidência, e passando –50 para o outro lado:

Somando 1000 com 50, e passando 10x para o outro lado:

Passando (x-5) dividindo:

Agora vamos substituir a eq. II na eq. I, assim:

Multiplicando x pelo parênteses:

Passando (x-5) multiplicando:

Aplicando a propriedade distributiva:

Fazendo 1050x – 1000x, e passando –5000 para o outro lado:

Dividindo todos os termos por 10:

Perceba que chegamos em uma equação do 2º grau. Para resolvê-la, aplicamos a fórmula de Bhaskara.

Onde, para o nosso problema, a = –1; b = 5; e c = 500.

Substituindo a, b e c na equação, fica:

Desenvolvendo:

Temos dois resultados possíveis para x. Um somando 45, e outro subtraindo. Chamarei estes resultados de x’ e x’’.

Encontrando x’:

Encontrando x’’:

Por fim, basta analisar qual das duas respostas se encaixa no nosso problema. Como o número de pessoas deve ser positivo, o valor que estamos procurando é x’’ = 25.

Portanto, o número x de pessoas é igual a 25.

Continue praticando, que é só com persistência que conseguimos sucesso não só em matemática, mas em tudo na vida.

Um abraço!

Marcelo Flora
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Posted in: Equação do 2º Grau, Resolvendo Problemas